Selasa, 30 Desember 2008

Cara Mengajar Operasi PERKALIAN

Perkalian adalah konsep matematika utama yang seharusnya dipelajari oleh anak-anak setelah mereka mempelajari operasi penambahan dan pengurangan. Bila operasi pertambahan dan pengurangan ini sudah diperkenalkan pada kelas satu di sekolah dasar, maka biasanya operasi perkalian mulai diperkenalkan pada kelas tiga di sekolah dasar. Para orang tua mungkin ingin memahami bagaimana caranya mengajarkan ketrampilan perkalian ini secara benar kepada anak-anak mereka.
Metode untuk mengajarkan Perkalian pada tahap awal yang paling sesuai adalah dengan menghubungkan ke konsep Penambahan, yaitu dengan memandang perkalian sebagai penambahan beruntun (3*4 = 3+3+3+3 = 12). Karena dengan pendekatan penambahan beruntun ini, si anak dapat menggunakan pemahaman yang telah didapat selama mempelajari operasi Penambahan untuk selanjutnya digunakan mempelajari Perkalian. Dengan pendekatan ini konsep Perkalian dipandang oleh si anak sebagai perkembangan wajar dari konsep Penambahan yang telah dimengerti olehnya.
Ada beberapa tahap untuk mengajarkan anak-anak mengenai konsep perkalian ini. Tahap-tahap ini bergantung pada kemampuan (bukan pada umur) anak tersebut secara unik sehingga tidak dapat dipaksakan dalam proses pengajarannya. Untuk memudahkan, cara pengajaran operasi perkalian dibagi menjadi tiga tahap, yaitu tahap pengenalan perkalian, tahap perkalian tradisional, tahap perkalian mental. Yang nantinya akan
dibahas secara terinci satu demi satu.

1. Tahap Pengenalan Perkalian
Dalam tahap ini, diperkenalkan konsep Perkalian sebagai Penambahan Beruntun dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dengan menggunakan wadah telur (atau wadah lain yang dalamnya bersekat-sekat), dan dengan menggunakan kelereng untuk mengajarkan operasi perkalian, misalnya 3*4. Langkah pertama adalah menjelaskan bahwa Operasi Perkalian 3*4 mempunyai arti tiga kelompok dari 4 (empat) kelereng. Kemudian diilustrasikan dengan mengisi tiga ruang dalam wadah telor tersebut masing-masing dengan 4 (empat) kelereng. Selanjutnya siswa diminta untuk membilang semua kelereng yang ada dalam wadah telor tersebut dari 1 (satu) s.d 12 (duabelas).
Selanjutnya kita mengenalkan Sifat Komutatif dari Perkalian, dengan mengambil kembali keduabelas kelereng tadi. Kemudian mengajarkan bahwa 3*4 = 4*3, dengan menjelaskan 4*3 mempunyai arti empat kelompok dari 3 (tiga) kelereng sembari meletakkan keduabelas kelereng tersebut ke dalam empat ruang dalam wadah telor tersebut masing-masing dengan 3 (tiga) kelereng. Lakukan permainan ini berulang-ulang dengan kasus-kasus perkalian dasar yang lain.
Cara alternatif yang lain untuk mengajarkan menggunakan kertas berpetak dan pensil berwarna. Misalkan untuk mengajarkan 3*4, yang di sini mempunyai arti tiga kelompok dari 4 (empat) kotak. Sehingga siswa akan mewarnai 3 baris dengan 4 (empat) kotak pada masing-masing baris (4 + 4 + 4). Selanjutnya untuk mengajarkan 4*3, yang disini mempunyai arti empat kelompok dari 3 (tiga) kotak, siswa dapat mewarnai 4 baris dengan 3 (tiga) kotak pada masing-masing baris (3 + 3 + 3 + 3). Untuk membandingkan kedua gambar tersebut, gambar kedua dapat diputar 90 derajat sehingga akan sama persis dengan gambar pertama. Kunci pada tahap pengenalan perkalian ini adalah seluruh pengajarannya menggunakan Contoh Nyata dan Kata-kata, belum ada notasi angka tertulis dalam tahap ini.

2. Tahap Perkalian Tradisional
Pada tahap ini tentunya dimulai dengan penulisan operator perkalian ( * ). Yang menjadi masalah paling pokok dalam mengajarkan operasi perkalian adalah mengajarkan Tabel Perkalian dari 1 (satu) s.d 9 (sembilan) dengan bertahap sampai siswa dapat menghafal di luar kepala tabel perkalian ini. Selanjutnya setelah tabel perkalian ini dikuasai, urutan pengajarannya adalah berdasarkan jumlah digit bilangan yang terlibat, misalnya satuan, puluhan, ratusan dan seterusnya. Pada setiap digit bilangan ini dilakukan latihan yang berulang-ulang agar siswa dapat menguasai dengan mahir. Baru kemudian berpindah ke digit bilangan yang lebih banyak.
Tabel Perkalian

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0x0
0x1
0x2
0x3
0x4
0x5
0x6
0x7
0x8
0x9
1
1x0
1x1
1x2
1x3
1x4
1x5
1x6
1x7
1x8
1x9
2
2x0
2x1
2x2
2x3
2x4
2x5
2x6
2x7
2x8
2x9
3
3x0
3x1
3x2
3x3
3x4
3x5
3x6
3x7
3x8
3x9
4
4x0
4x1
4x2
4x3
4x4
4x5
4x6
4x7
4x8
4x9
5
5x0
5x1
5x2
5x3
5x4
5x5
5x6
5x7
5x8
5x9
6
6x0
6x1
6x2
6x3
6x4
6x5
6x6
6x7
6x8
6x9
7
7x0
7x1
7x2
7x3
7x4
7x5
7x6
7x7
7x8
7x9
8
8x0
8x1
8x2
8x3
8x4
8x5
8x6
8x7
8x8
8x9
9
9x0
9x1
9x2
9x3
9x4
9x5
9x6
9x7
9x8
9x9
a. Cara Mengajarkan Perkalian dengan bilangan 0 (nol) dan 1 (satu) [ Bagian berstabilo hijau dalam tabel perkalian]
Pada level ini diperkenalkan sifat yang mendasar dari operasi perkalian terhadap bilangan 0 (nol) dan 1 (satu). Mula-mula perkalian dengan bilangan 0 (nol), misalnya 0*3. Berdasarkan pemahaman bahwa perkalian merupakan pertambahan berulang maka dapat dijelaskan bahwa 0*3 = 0 + 0 + 0 = 0. Sedangkan untuk perkalian 3*0 dapat dijelaskan mengunakan Konsep komutatif yang telah dipahami siswa dalam tahap sebelumnya, sehingga 3*0 = 0*3 = 0. Demikian pula untuk perkalian bilangan-bilangan lain dengan bilangan 0 (nol).
Selanjutnya untuk perkalian dengan bilangan 1(satu), misalnya 1*4. Berdasarkan pemahaman bahwa perkalian merupakan pertambahan berulang maka dapat dijelaskan bahwa 1*4 = 1+1+1+1 = 4. Sedangkan untuk perkalian 4*1dapat dijelaskan mengunakan Konsep komutatif yang telah dipahami siswa dalam tahap sebelumnya, sehingga 4*1 = 1*4 = 4. Demikian pula untuk perkalian bilangan-bilangan lain dengan bilangan 1 (satu).
Cara ini diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
b. Cara Mengajarkan Perkalian dengan bilangan 2 (dua), 5 (lima) dan 9 (sembilan) [ Bagian berstabilo kuning dalam tabel perkalian]
Di sini akan dipelajari cara mengajarkan perkalian dengan bilangan 2 (dua), 5 (lima) dan 9 (sembilan). Mengapa bilangan ini didahulukan dalam pengajarannya dibandingkan dengan bilangan yang lain? Hal ini karena bilangan 2 (dua), 5 (lima) dan 9 (sembilan) mempunyai pola yang mudah untuk dipahami.
Mula-mula perkalian dengan bilangan 2 (dua), misalnya 2*3. Berdasarkan pemahaman bahwa perkalian merupakan pertambahan berulang maka dapat dijelaskan bahwa 2*3 = 2+2+2 = 6. Sedangkan untuk perkalian 3*2 dapat dijelaskan mengunakan Konsep komutatif yang telah dipahami siswa dalam tahap sebelumnya, sehingga 3*2 = 2*3 = 6. Demikian pula untuk perkalian bilangan-bilangan lain dengan bilangan 2 (dua) yang selalu menghasilkan bilangan GENAP, yaitu dari 2 (dua) s.d 18 (delapanbelas).
Untuk perkalian dengan bilangan 5 (lima), misalnya 5*3. Berdasarkan pemahaman bahwa perkalian merupakan pertambahan berulang maka dapat dijelaskan bahwa 5*3 = 5+5+5 = 15. Sedangkan untuk perkalian 3*5 dapat dijelaskan mengunakan Konsep komutatif yang telah dipahami siswa dalam tahap sebelumnya, sehingga 3*5 = 5*3 = 15. Demikian pula untuk perkalian bilangan-bilangan lain dengan bilangan 5 (lima) yang selalu menghasilkan bilangan dengan DIGIT terakhir 5 (lima) atau 0 (nol), yaitu dari 5, 10, sampai dengan 45..
Selanjutnya untuk perkalian dengan bilangan 9 (sembilan), misalnya 9*3. Berdasarkan pemahaman bahwa perkalian merupakan pertambahan berulang maka dapat dijelaskan bahwa 9*3 = 9+9+9 = 27. Sedangkan untuk perkalian 3*9 dapat dijelaskan mengunakan Konsep komutatif yang telah dipahami siswa dalam tahap sebelumnya, sehingga 3*9 = 9*3 = 27. Demikian pula untuk perkalian bilangan-bilangan lain dengan bilangan 9 (sembilan) yang selalu menghasilkan bilangan dengan JUMLAH digitnya selalu 9 (sembilan) contohnya 27 [2+7=9]. Perhatikan pula hasilkali yang lain dengan bilangan 9, yaitu 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, dan 81
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
c. Cara Mengajarkan Perkalian dengan bilangan 3 (tiga), 4 (empat), 6 (enam), 7 (tujuh) dan 8 (delapan) [ Bagian berstabilo merah muda dalam tabel perkalian]
Untuk Perkalian 3*3, 3*4, dan 4*4 masih mudah diajarkan. Caranya dapat dengan menggunakan pemahaman pertambahan berulang. Contohnya 3*4 = 3+3+3+3 = 12. Sedangkan untuk perkalian dengan bilangan 6, 7 dan 8 dapat menggunakan Sifat Distributif dari perkalian untuk mempermudah penjelasannya.
Pertama Sifat Distribusi ini diterapkan untuk perkalian 6, 7 dan 8 dengan bilangan yang kecil (3 dan 4) terlebih dahulu. Contohnya untuk kasus perkalian 3*7 dapat disederhanakan menjadi 3* (4+3) = 3*4 + 3*3 = 12 +9 = 21. Atau contoh lain 4*8 = 4* (4+4) = 4*4 +4*4 = 16 + 16 = 32.
Dengan menguasai perkalian di atas maka dapat diajarkan 6, 7 dan 8 dengan bilangan yang besar. Misalnya 6*7 = 6* (3+4) = 6*3 + 6*4 = 18 + 24 = 42. Atau contoh lain 7*8 = 7* (4+4) = 7*4 + 7*4 = 28 + 28 = 56.
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
KETERANGAN : Bagian Tabel Perkalian dengan stabilo berwarna biru dapat dipelajari dengan mudah dengan menggunakan Sifat komutatif dari Perkalian.
d. Cara Mengajarkan Perkalian Puluhan dan Satuan ( sebagai contoh 43 * 5)
Letakkan satu bilangan (43) di atas bilangan yang lainnya (5) sedemikian sehingga baik puluhan maupun satuannya berada dalam satu garis lurus. Dan tarik garis horisontal dibawah bilangan kedua.
43
5
Kalikan kedua digit satuan dari dua bilangan tersebut (3*5 = 15). letakkan Angka 1 (‘SATU’) diatas kolom puluhan dan letakkan Angka 5 (‘LIMA’) pada bawah garis horisontal dengan letak yang sesuai.
1
43
5
5
Kalikan digit puluhan dari bilangan pertana dengan bilangan ke dua. (4*5 = 20). Tambahkan hasilnya dengan Angka 1 (‘SATU’) diatas kolom puluhan, sehingga didapat 20+1 = 21. Letakkan hasilnya (21) pada bawah garis horisontal dengan letak yang sesuai
1
43
5
215
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
e. Cara Mengajarkan Perkalian Puluhan ( sebagai contoh 12 * 43)
Letakkan satu bilangan (12) di atas bilangan yang lainnya (43) sedemikian sehingga baik puluhan maupun satuannya berada dalam satu garis lurus. Dan tarik garis horisontal dibawah bilangan kedua.
12
43
Kalikan bilangan pertama dengan digit satuan dari bilangan ke dua. (12*3 = 36). Letakkan hasilnya (36) pada bawah garis horisontal dengan letak yang sesuai.
12
43
36
Kalikan bilangan pertama dengan digit puluhan dari bilangan ke dua. (12*4 = 48). Letakkan hasilnya (48) pada bawah garis horisontal dengan letak yang sesuai
12
43
36
48_
Kemudian jumlahkan hasil yang telah didapat dari dua perkalian sebelumnya :
12
43
36
48_
516
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada
Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya ratusan, ribuan dan seterusnya.

3. Tahap Perkalian Mental
Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya konsentrasi pada para praktisinya.
Kunci utama dalam Perkalian secara mental adalah Ingatan (memori) dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi perkalian. Berdasarkan cara memvisualisasinya, Perkalian Mental dapat dibagi dalam dua kategori:

A. Visualisasi Langsung (Direct Visualization)
Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan. Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata ‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.
Mula-mula siswa diajarkan menghitung perkalian dengan metode horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang telah dilakukannya.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Satuan (sebagai contoh 84*6)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*c = a*c b*c. Selanjutnya didapat:
(8 4) * (6) = (8*6) (4*6)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam pagar sebagai berikut :
(8*6) (4*6) = 48 24
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
48 24 = 48+2 4 = 50 4
Sehingga hasilnya adalah 504
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*b a*c = 48 24
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya
48 24 = 50 4
3. Sehingga jawabannya adalah 504
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke Kiri
b. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan (sebagai contoh 84*35)
Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*cd = a*c a*d + b*c b*d, selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 4 dan 35 = 3 5. Selanjutnya didapat
(8 4) * (3 5) = (8*3) (8*5 + 4*3) (4*5)
Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam pagar sebagai berikut :
(8*3) (8*5 + 4*3) (4*5) = 24 40+12 20 = 24 52 20
Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:
24 52 20 = 24 52+2 0 = 24 54 0
Kemudian,
24 54 0 = 24+5 4 0 = 29 4 0
Sehingga hasilnya adalah 2940
Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian
a*c a*d + b*c b*d = (24 52 20)
2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya
(24 52 20) = (24 54 0 ) = (29 4 0)
3. Sehingga jawabannya adalah 2940
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke Kiri
Cara ini kemudian di ulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya ratusan, ribuan dan seterusnya.

B.. Visualisasi Objek (Visualization with Object)
Biasanya objek yang digunakan disini adalah sempoa (abacus). Disini sempoa digunakan untuk membantu proses visualisasinya, terutama digunakan bagi mereka yang belum mengetahui konsep Asosiasi Posisi dan bagi mereka yang kesulitan untuk memvisualisasikan sesuatu yang abstrak seperti Angka Desimal. Dalam kenyataannya cara Visualisasi dengan menggunakan objek sempoa ini hanya sesuai untuk diajarkan pada anak-anak saja. Dan kurang sesuai untuk diajarkan pada remaja atau orang dewasa karena umumnya remaja dan orang dewasa sudah mempunyai konsep bilangan dan operasinya yang mapan dalam benaknya sehingga merasa kesulitan/bosan harus belajar lagi menghitung bilangan dari awal dengan menggunakan sempoa.
Contoh:
a. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Sempoa (sebagai contoh 6 * 84)
Disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Tentukan batang untuk bilangan pertama dan kedua pada sempoa. Kemudian tentukan bilangan 84 pada batang AB dan 6 pada batang E.
2. Kalikan 8 dari 84 dengan 6 dan tentukan hasilnya 48 pada batang FG.
3. Kemudian Kalikan 4 dari 84 dengan 6 dan tentukan hasilnya 24 dan tambahkan pada batang GH
4. Sehingga didapat jawaban 504
KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kiri ke Kanan
b. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Sempoa (sebagai contoh 35 * 84)
Disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:
1. Tentukan batang untuk bilangan pertama dan kedua pada sempoa. Kemudian tentukan bilangan 84 pada batang AB dan 35 pada batang EF.
2. Kalikan 5 dari 35 dengan 8 dari 84 dan tentukan hasilnya 40 pada batang GH dan 5 dari 35 dengan 4 dari 84 dan tambahkan hasilnya 20 pada batang HI. Maka akan didapat totalnya 420 pada batang GHI.
3. Kalikan 3 dari 35 dengan 8 dari 84 dan tambahkan hasilnya 24 pada batang FG. Sehingga hasilnya adalah 2820. Selanjutnya 3 dari 35 dengan 4 dari 84 dan tambahkan hasilnya 12 pada batang GH. Maka akan didapat totalnya 2940 pada batang FGHI.
4. Sehingga didapat hasil akhir 2940.

2 komentar:

  1. pak, saya minta ijin copy n paste buat di print ya, yang B.. Visualisasi Objek (Visualization with Object) buat belajar di rumah.. makasih ya

    Josephine, 13 th

    BalasHapus
  2. o ya, kalau dikasi gambar mungkin jadi lebih bagus, jadi sekalian bisa tau caranya.. trims

    BalasHapus